Tema IV: Trazados básicos: Operaciones con segmentos y ángulos.

1.- OPERACIONES CON SEGMENTOS:

• TRANSPORTE DE SEGMENTOS.

Es la operación que desarrollaremos cada vez que queramos transportar una medida. Empleando el compás seguiremos los siguientes pasos:

1. Toma la medida del segmento con el compás, haciendo centro en uno de sus extremos y abriéndolo hasta el otro.
2. Esa medida nos la llevaremos a un punto determinado de una recta o al extremo de una semirrecta.
3. Trazamos un arco que corte a dicha recta o semirrecta. El segmento obtenido tiene la misma medida que el segmento inicial.

Este procedimiento, además de ser usado para el transporte de medidas, se usará para la suma y resta de segmentos.

• SUMA DE SEGMENTOS.

Para sumar dos segmentos AB y CD, transportaremos uno de ellos a una semirrecta, partiendo desde su extremo, donde colocaríamos el punto A. Seguidamente, colocaremos la medida del segundo segmento CD partiendo desde el extremo B del segmento anterior. El segmento AD es el resultante de la suma de AB y CD.

En el caso de que quisiéramos sumar más de dos segmentos, el procedimiento se repetiría tantas veces como segmentos tuviéramos que sumar.

• RESTA DE SEGMENTOS.

Para restar un segmento CD a otro mayor AB, transportamos la medida del segmento AB a la semirrecta, situando A en su extremo. Haciendo centro en el extremo B de dicho segmento transportado colocaríamos la medida del segmento menor CD sobre la del segmento mayor. La medida que va desde A a D sería el segmento resultante de la resta.

• DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN DOS PARTES IGUALES (Mediatriz).

Para dividir un segmento en dos partes iguales simplemente trazamos la mediatriz. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento y cuyos puntos equidistan de sus extremos. Es decir, todos los puntos de la mediatriz de un segmento AB tienen la misma distancia a sus extremos A y B.

• DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES.

Para dividir un segmento en un determinado número de partes iguales usaremos un método basado en el teorema de Tales.

Por ejemplo, para dividir un segmento AB en cinco partes iguales:

1. Trazamos una semirrecta cualquiera desde el extremo A del segmento. Con una medida cualquiera y cualquier ángulo respecto al segmento.
2. Sobre esta semirrecta transportamos con el compás una medida cualquiera tantas veces como divisiones queremos del segmento. En este caso queremos dividirlo en cinco partes, pues transportaremos esa medida arbitraria cinco veces.
3. Uniremos el extremo de esas cinco medidas arbitrarias (la última marca realizada) con el extremo B del segmento. Este segmento que acabamos de trazar nos indica la dirección del resto de segmentos que debemos dibujar. Por el resto de marcas pasaremos rectas paralelas a dicho segmento.
4. De este modo, el segmento AB quedará dividido en cinco partes iguales.

 2.- OPERACIONES CON ÁNGULOS.

• DIVIDIR UN ÁNGULO EN DOS PARTES IGUALES.
  La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales.
  Para trazar la bisectriz:
1. Hacemos centro con el compás en el vértice del ángulo.
2. Trazamos un arco con un radio arbitrario que corte a ambos lados del ángulo.
3. De este modo obtenemos dos puntos de corte desde los cuales volveremos a trazar dos arcos con el mismo radio, también libre, hasta que se corten en un punto.
4. Obtendremos la bisectriz uniendo este último punto con el vértice del ángulo.
   El ángulo queda dividido en dos partes que tienen la misma amplitud.
   
   En el siguiente vídeo podrás ver el método anteriormente explicado más otro método alternativo:
    

• TRANSPORTAR UN ÁNGULO.
  Cuando hablamos de transportar un ángulo en realidad estamos trazando un ángulo igual a otro, con la misma medida pero en otra situación.
  A continuación se detalla el procedimiento para realizar el transporte de ángulos con el compás:
1. Haciendo centro en el vértice del ángulo que deseamos transportar trazamos un arco con un radio arbitrario. Este deberá cortar ambos lados del ángulo.
2. Con ese mismo radio y haciendo centro en el extremo de la semirrecta a la que queremos llevar el ángulo, volvemos a trazar un arco tan amplio o más que el anterior y que corte a la semirrecta.
3. Con el compás, tomamos la medida entre los dos puntos de corte del arco con los lados del ángulo.
4. Con esa medida, hacemos centro en el punto de corte del arco con la semirrecta y trazamos un arco que corte al anterior.
5. Si hacemos pasar una recta por ese punto de corte de ambos arcos y el extremo de la semirrecta obtendremos un ángulo idéntico al dado.
   

• SUMA DE ÁNGULOS.
  Para sumar dos ángulos vamos a transportar uno sobre la semirrecta y el otro sobre el lado del ángulo obtenido.
  

• RESTA DE ÁNGULOS.
  Para la resta de ángulos, transportaremos el ángulo mayor sobre la semirrecta y posteriormente trasladaremos el menor sobre el lado obtenido, pero en sentido contrario. El resultado será toda la porción del primer ángulo que no queda abarcada por el segundo.

• BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS CONCURRENTES.

Se dice que dos rectas son concurrentes cuando coinciden ambas en un mismo punto. Los lados de un ángulo, por ejemplo, son dos rectas concurrentes, que coinciden o se juntan en el vértice de dicho ángulo. Como ya hemos visto, trazar la bisectriz de un ángulo es un procedimiento bastante simple. ¿Pero que sucede cuando ese ángulo formado por ambas rectas queda fuera de nuestro espacio de trabajo? A continuación veremos dos métodos para resolver este problema de rectas concurrentes.

• Método 1. Paralelas interiores:
1. Tomamos una medida arbitraria para trazar dos rectas paralelas a las rectas dadas por la parte interior del ángulo al que queremos hallar la bisectriz. La medida será a libre elección, la misma para ambas paralelas y considerando que dichas paralelas se cortarán trazándolas a esa distancia de sus respectivas rectas.
2. El ángulo formado por ambas paralelas tiene la misma amplitud que el ángulo que forman ambas rectas concurrentes. La bisectriz de ambos ángulos son la misma recta. Teniendo en cuenta eso, trazaremos la bisectriz del ángulo formado por ambas paralelas y obtendremos la recta deseada
    

• Método 2. Recta secante auxiliar.
1. Trazaremos una recta cualquiera secante a ambas rectas concurrentes.
2. Como resultado de la doble intersección producida por esta recta auxiliar obtendremos cuatro ángulos interiores respecto al ángulo de las dos rectas concurrentes.
3. Trazamos la bisectriz de esos cuatro ángulos.
4. Veremos que las bisectrices se cortan dos a dos. Uniendo esos dos puntos de intersección obtendremos la recta bisectiz que estamos buscando.

• BISECTRIZ DE UN ÁNGULO MIXTILÍNEO.

Para trazar la bisectriz de un ángulo mixtilíneo seguiremos los siguiente pasos:

1. Por la parte interior del ángulo, trazaremos una recta perpendicular al lado recto del ángulo.
2. En esta recta y partiendo del punto de intersección con el lado, transportaremos varias veces una misma medida cualquiera.
3. Por cada una de esas marcas trazaremos paralelas.
4. Por otro lado, trazaremos un radio cualquiera del arco que forma el lado curvo del ángulo. Nos interesa la prolongación de dicho radio tras cortar el arco (la parte interna del ángulo).
5. Partiendo desde ese punto de corte del arco, colocaremos varias veces la misma medida que transportamos a la perpendicular al lado recto.
6. Por esas marcas trazaremos arcos concéntricos al lado curvo del ángulo.
7. Nos interesan los puntos de corte de la primera paralela con el primer arco, de la segunda paralela con el segundo arco,... y así sucesivamente.
8. Esos puntos los deberemos unir uno a uno y trazar a mano la bisectriz.

• BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CURVILÍNEO.

Para trazar la bisectriz de un ángulo curvilíneo seguiremos los mismos pasos que seguimos en el dibujo anterior para el lado curvo del ángulo mixtilíneo. En este caso aplicaremos dicho proceso a ambas curvas del ángulo. Igualmente, deberemos unir a mano alzada los puntos de corte de esos arcos concéntricos de los respectivos lados curvos con el vértice del ángulo.

• TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO RECTO.

Para trazar la división en tres partes de un ángulo rectángulo seguiremos los siguientes pasos:

1. Desde el vértice del ángulo, trazamos un arco con el compás con una medida arbitraria, la que queramos, que corte ambos lados del ángulo.
2. Desde esos dos puntos de corte A y B dibujamos arcos con la misma amplitud que el anterior y que lo corten.
3. Si unimos cada uno de los dos puntos de intersección de los arcos con el vértice obtendremos la trisección del ángulo.